The beauty of Probability Theory

前言

总结一下自己在书上写的笔记

随机事件与概率

随机试验

需要满足三个条件

  1. 试验可以在相同的条件重复运行
  2. 试验所有可能结果明确可知,且不止一个
  3. 每一次实验会出现哪一个结果,实现并不能确定

e.g: 投硬币

  • 相同的条件下重复运行:掷硬币的动作可以在相同的条件下多次进行。每次掷硬币的动作和方式相同。

  • 试验所有可能结果明确可知,且不止一个:掷硬币的可能结果只有两个,即“正面朝上”和“反面朝上”。

  • 每一次实验会出现哪一个结果,实现并不能确定:每次掷硬币时,虽然我们知道可能出现的结果,但具体每次会出现“正面”还是“反面”是无法确定的。

试验记作 $E_{1}, E_{2},…$

  • 可能出现也不可能出现记作随机事件(事件),表示 $A,B,C$

  • 一定发生的事件记作必然事件,表示 $\Omega$

  • 不可能事件表示 $\emptyset$

  • 样本空间:一个样本点记作$\omega$,全体构成的集合样本空间记作$\Omega$,即

$$
\Omega={\omega}
$$

事件关系与运算

看书

概率

描述性定义

随机事件A发生的可能性大小的度量称为事件A发生的概率,记$P(A)$

统计性定义

看书
$$
P(A)=\frac{事件A出现的次数k}{总的实验次数n}=\frac{k}{n}\\
$$

  • 事件$A$:硬币正面朝上
  • 总实验次数$n$:100次
  • 事件$A$出现的次数$k$:55次(正面)

事件$A$的概率$P(A)$就是 0.55 或者 55%
$$
P(A)=\frac{k}{n}=\frac{55}{100}=0.55
$$

公理化定义

课本上为柯尔莫哥洛夫公理(Kolmogorov axioms)

  1. 非负$P(A)\ge0$
  2. 规范$P(\Omega)=1$
  3. 可列可加

$$
P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)
$$

例如,盒子中没有黄色球,因此抽到红球或黄色球的概率等于抽到红球的概率,因为抽到黄色球的概率是 0
$$
P(红球\cup黄色球)=P(红球)+P(黄色球)=P(红球)+0=P(红球)
$$

古典概率

排列和组合;古典概率:$\forall$基本事件总数为$n$,$P(A)$包含$k$个基本事件,则$P(A)$的概率为
$$
P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所含基本事件的个数}{基本事件总数}
$$

概念

  1. 列举法:基本事件数不多用这个

  2. 集合对应法:

    • 加法原理

    $$
    \sum_{i=1}^{n}m_i\\
    $$

    • 乘法原理

    $$
    \prod_{i=1}^{n}m_i
    $$

    • 排列

    $$
    P_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\\
    当m=n时,P_{n}^{n}=\frac{n!}{0!}=n!,叫做全排列
    $$

    • 组合

    $$
    C_n^m=\frac{P_n^m}{m!}
    $$

  3. 逆数法

计算方法

  • 随机分配问题

突出一个“放”字(看书)

  • 简单随机抽样问题

设$\Omega={\omega_1,\omega_2,…,\omega_N}$(后面看书),简单随机抽样分为先后有放回先后无放回任取

  1. 先后有放回(先后有放回取$n$次):$N^n$
  2. 先后无放回(先后无放回取$n$次):$P_N^n=N(N-1)·…·(N-n+1)$
  3. 任取$n$个:$C_N^n$(大N里任取n个,e.g:监狱里有10名犯人,随机调3个枪毙,$C_{10}^3$

几何模型

在集合概率随机试验中,如果$S_A$是样本空间$\Omega$的一个刻度量的子区域,则事件$A={样本点落入区域S_A}$概率为:
$$
P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega的几何度量}
$$
上市计算得出的概率称为$A$的几何概率

概率的性质与公式

看书

  • 全概率公式

$$
P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\cap{B_i})=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)
$$

假设某种疾病(记为$D$)的普及率为$1%$
$$
P(D)=0.01
$$
如果一个人患有该疾病,测试结果为阳性的概率(灵敏度)为 99%:
$$
P(阳性|D)=0.99
$$
如果一个人没有患该疾病,测试结果为阳性的概率(假阳性率)为 5%:
$$
P(阳性|-D)=0.05
$$
使用全概率公式进行计算,求解$P(D|阳性 )$

写牛魔

  • 贝叶斯公式(逆概率公式):搭配全概率公式进行理解

$$
P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^nP(A|B_j)P(B_j)}
$$

一维随机变量及其分布

随机变量分布类型

  • 离散型

    • 0-1分布 $B(1,p)(Ber-E_1)$

    • 二项分布 $B(n, p)(Ber-E_n)$

      • $P{X=k}=C_{n}^{k}(1-p)^{n-k}$,n重伯努利实验中事件A发生的次数,其中$p=P(A)$

    例:某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02独立射击 400 次,试求至少击中两次的概率

    解:设击中次数为X,即$X~B(400,0.02)$

    X的分布律为

    $P{X=k}=C_{400}^{k}(0.02)^k(1-0.02)^{400-k}$

    $P{X=0}=C_{400}^{0}(0.02)^0(1-0.02)^{400-0}=$

    $P{X=1}=C_{400}^{1}(0.02)^1(1-0.02)^{400-1}=$

    $P{X\ge2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.98)^{400}-400(0.02)(0.98)^{399}=0.9972$

    • 泊松分布 $P(\lambda)$

      • 泊松定律

      • $$
        C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
        $$

    • 几何分布 $G(p)(Ber-E_\infty)$

    • 超几何分布 $H(n, N, M)$

  • 连续型

    • 均匀分布 $U(a, b)$

    • 指数分布 $E(\lambda)$

    • 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

      • $$
        f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}(-\infty<x<+\infty)
        $$

例题

  • 例5:一个10个晶体管的包装盒,其中6个正品,4个次品。从中任取3个,求抽到次品的概率分布。

解:已知X为抽到的次品数,则可能取到的值为0,1,2,3,X的分布律为

$P{X=0}=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{6}$

$P{X=1}=\frac{C_4^1C_6^2}{C_{10}^3}=\frac{1}{2}$

$P{X=2}=\frac{C_4^2C_{6}^1}{C_{10}^3}=\frac{3}{10}$

$P{X=3}=\frac{C_4^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{30}$

多维随机变量及其分布

随机变量的数字特征

大数定律与中心极限定理

数理统计

作者

IceCliffs

发布于

2024-07-07

更新于

2024-07-19

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