The beauty of Linear Algebra

前言

  • 严格按照最新《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》总结,仅供个人理解及考前冲刺

行列式

几何表示

二阶行列式计算方法

$$
\begin{vmatrix}
\alpha_{11}&\alpha_{12}\\
\alpha_{21}&\alpha_{22}
\end{vmatrix}\\
计算方法=\alpha_{11}\times\alpha_{12}-\alpha_{21}\times\alpha_{22}
$$

三阶行列式计算方法

  • 使用展开法(0多的优先)

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
$$

  • 传统法(太TM慢了)

$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}
$$

N阶

仅列举出计算方法

-

矩阵

线性方程组

特征值与特征向量

求解特征值就是主对角线这样子做 $|\lambda{E}-A|$,先求出 $\lambda$,然后再求其次线性方程组 $(\lambda{E}-A)x=0$,最后求出特征向量

举个例题,求特征值 $\begin{bmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{bmatrix}$的特征值与特征向量

二次型

考研只研究系数 $a_{ij}\in{R}$ ,展开式看书,和式为 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$,矩阵表达式为
$$
A=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\
…&…&&…\\
a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn}\
\end{bmatrix}=x=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
…\\
x_n
\end{bmatrix}
$$
可表示为 $f(x)=x^TAx$,即
$$
\begin{bmatrix}x_1,x_2,x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
$$
很好理解
$$
A_{3\times3}=\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{21}&a_{32}&a_{33}
\end{bmatrix}
$$

解释 $a_{12}=x_{1}x_{2}$、$a_{21}=x_{2}x_{1}$、$a_{33}=x_{3}^2$

  • 例【5.1】二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3ijx_ix_j$,求二次型矩阵$A$

解:for循环(乐)
$$
f=x^TAx,其中A_{3\times3}=\begin{bmatrix}
1&2&3\\
2&4&6\\
3&6&9
\end{bmatrix}
$$
所以
$$
a_{ij}=a_{ji}\Rightarrow{A=A^T}
$$

作者

IceCliffs

发布于

2024-07-07

更新于

2024-07-12

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