The beauty of Calculus

强化阶段

极限

个人对于极限的抽象理解

极限的定义:设 $a_n$ 为一数列,存在一个常数$A$,对 $\forall\varepsilon>0$,$\exists{N>0}$,则当$n>N$时,有$|a_n-A|<\varepsilon$,则称$A$为数列$a_n$的极限(或数列$a_n$收敛为$A$)

个人理解:如果我们给定了一个距离($a_n$),这个距离是我找女朋友的距离,那么可以存在一个值($A$),用来衡量我啥时候能找到女朋友,这个常数会被局限在一个父母催我找女朋友的范围内($\varepsilon$),而我找女朋友的距离就被限制在这个范围内。

  • 数列 $a_n$:代表我找女朋友的距离
  • 极限 $A$:代表最终找到女朋友的状态
  • $\varepsilon$:代表父母催促我找女朋友的耐心范围
  • $N$:表示尝试多少次后,我的距离能稳定在父母期望的范围内

对于上述这个抽象例子,极限可以分为数列极限函数极限

数列极限

举个例子
$$
\lim_{我找女朋友\rightarrow\infty}找女朋友的过程_n=?
$$
由此可见,找女朋友得过程可能是可观测的,也有可能是不可观测的,例如

$$
(-手)^n=正手,反手,正手,反手,正手,反手,正手,反手,正手,反手…\\
这个序列在正手和反手之间不断变化,没有稳定的极限\\
ln(女朋友n)=ln(女朋友),ln(女朋友女朋友),ln(女朋友女朋友女朋友)…\\
这个序列表是我在找女朋友的过程中不断积累的经验(老渣男)
$$

函数极限

例题:证明
$$
\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}
$$
函数极限存在

证:

证毕

总结

  • 数列极限:代表某一过程中不断逼近的状态。
  • 函数极限:表示一个函数在某点附近的趋势。

基础公式默写

面(体)积公式

球表面积:$S=4 \pi R^2$

球体积公式:$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

圆锥体积公式:$V=\frac{1}{3}sh$($s$位圆锥底面积,$h$为圆锥的高)

椭圆面积公式:$S=\pi ab$

扇形面积公式:$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}r^2 \theta$(其中$l$为弧长,$r$为半径,$\theta$为夹角(用$\pi$​表示)

极坐标方程与直角坐标转换

  • 直角坐标极坐标

$$
\begin{cases}
&\text{x}=\rho cos \theta \
&\text{y}=\rho sin \theta \
&\theta=x^2+y^2
\end{cases}
$$

  • 极坐标转直角坐标

$$
\rho^2=x^2+y^2
$$

转成
$$
tan\theta=\frac{y}{x}
$$

二项式定理展开公式

$$
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^kb^{n-k}=a^n+na^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-1}b^2+…+\frac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+…+nab^{n-1}+b^n
$$

函数奇偶性

$$
f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}
$$

等差数列

$$
a_n=a_1+(n-1)d \\
S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d, n\in N^*\\
S_n=\frac{n(a_1+)}{2}\\
$$

等比数列

$$
a_n=a_1*q^{n-1}\\
S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1=q}
$$

常用数列前n项和

$$
\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+…+\frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)=n^2\\
\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$

两角和与差的三角函数

$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\beta\sin\alpha\\
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\beta\sin\alpha\\
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\
$$

积化和差公式

$$
\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\\
\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\\
\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\\
$$

积化和差得和差,余弦在后要想加。异名函数取正弦,正弦相乘取负号。

和差化积公式

$$
\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
$$

正加正,正在前,正减正,余在前;余加余,余并肩;余减余,负正弦

倍角公式

$$
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\
\cos2\alpha=\cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\
\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\\
\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2}\\
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\
\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}\\
$$

半角公式

$$
\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\\
\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\\
$$

高等数学公式默写

等价无穷小

当$x\rightarrow0$时
$$
\sin{x}\sim\tan{x}\sim\arcsin{x}\sim\arctan{x}\sim(e^x-1)\sim\ln(1+x)\sim{x}\\
1-\cos{x}\sim\frac{1}{2}x^2\\
(1+x)^a-1\sim{ax}\\
a^x-1\sim{x}\ln{a}\\
$$

导数相关公式

导数定义

$$
f’(x_0)=\lim_{\Delta{x}\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{\Delta{x}}\\
f’(x_0)=\lim_{x\rightarrow{x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\
$$

求导有两种方法:定义法,公式法。

解题信号:题目中如果是分段函数,则在分段点处用定义法求导数,在非分段点处用公式法;当题目中给出一个点的导数时,往往用导数定义来求。

微分定义

$$
\Delta{y}=f(x_0+\Delta)-f(x_0)\\
\Delta{y}=A\Delta{x}+o(\Delta{x})\\
A\Delta{x}=f’(x_0)\Delta{x}\\
$$

一元函数连续/可导/可微的关系

可导一定可微,可微一定可导,连续不一定可导

多元函数连续/可导/可微的关系

复合函数求导

$$
{f[g(x)]}’=f’[g(x)]g’(x)
$$

反函数求导

$$
y=f(x),x=\varphi(y)\Rightarrow\varphi’(y)=\frac{1}{f’(x)}\
$$

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{-x’’{yy}}{(x’{y})^3}\\
$$

参数方程求导

$$
\begin{cases}
x=\varphi(t)\\
y=\psi(t)
\end{cases}
$$

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
$$

$$
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
$$

变限积分求导公式

设$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$
$$
F’(x)=\frac{d}{dx}[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt]=f[\varphi_2(x)]\varphi_2^{‘}(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1^{‘}(x)
$$

记不住的求导公式

$$
f’(x)=\log_ax=\frac{1}{x\ln\alpha}\\
f’(x)=\sec{x}=\sec{x}\tan{x}\\
f’(x)=\csc{x}=-\csc{x}\cot{x}\\
f’(x)=\ln{(x+\sqrt{x^2+1})}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
f’(x)=\ln{(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
$$

莱布尼兹求导公式
$$
\sum_{k=0}^n{C_{n}^{k}}u^{(n-k)}v^{(k)}
$$
高阶求导公式
$$
(a^x)^n=a^x(\ln\alpha)^n\\
(e^x)^n=e^x\\
(\sin kx)^n=k^n\sin(kx+n\frac{\pi}{2})\\
(\cos kx)^n=k^n\cos(kx+n\frac{\pi}{2})\\
(\ln{x})^n=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\\
([\ln(1+x)]^n)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1)^n}\\
(\frac{1}{x+a})^n=\frac{(-1)^n*n!}{(x+a)^{n+1}}
$$

曲率

密切圆半径
$$
r=\frac{[1+f’(x)^2]^{\frac{3}{2}}}{|y^{‘’|}}
$$
曲率
$$
r=\frac{|y^{‘’|}}{[1+f’(x)^2]^{\frac{3}{2}}}
$$

积分相关公式

积分精确定义
$$
\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}
$$
区间在线公式
$$
\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx
$$
敛散性判别公式
$$
\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\Rightarrow
\begin{cases}
p>1\Rightarrow收敛\\
p\le1\Rightarrow发散
\end{cases}
\\
\int_0^1\frac{1}{x^p}dx\Rightarrow
\begin{cases}
p<1\Rightarrow收敛\\
p\ge\Rightarrow发散
\end{cases}
$$

记不住的积分公式

$$
\int{a^x}dx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C\\
\int{\tan{x}}dx=-\ln|\cos{x}|+C\\
\int{\cot{x}}dx=\ln{|\sin{x}|}+C\\
\int{\sec{x}}dx=\ln|\sec{x}+\tan{x}|+C\\
\int{\csc{x}}dx=\ln|\csc{x}-\cot{x}|+C\\
\int{\frac{1}{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\\
\int{\frac{1}{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2\alpha}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\\
\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C\\
\int{\frac{1}{\sqrt{x^2\pm\alpha^2}}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2\pm\alpha^2}|+C
$$

重要积分公式
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}=2\int_0^{+\infty}e^{-x^2}=\sqrt{\pi}\\
\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!\\
\int_{-\alpha}^\alpha f(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx\\
\int_0^\pi xf(\sin{x})dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin{x})dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})dx\\
\int_a^bf(x)dx=(b-a)\int_0^1f[a+(b-a)x]dx
$$
积分平均值

$f(x)$在$[a,b]$上的平均值为:$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$

多元微分学相关公式

多元微分定义

定义:$\Delta{z}=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho) (\rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2})$

全增量:$\Delta{z}=f(x_0+\Delta{x}, y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)$

线性增量:$A\Delta{x}+B\Delta{y}$,其中$A=f_x^{‘}(x_0,y_0), B=f_y^{‘}(x_0,y_0)$

可微判定:
$$
\lim_{
\begin{cases}
\Delta{x}\rightarrow0\\
\Delta{y}\rightarrow0
\end{cases}
}\frac{\Delta{z}-(A\Delta{x}+B\Delta{y})}{\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2}}\Rightarrow
\begin{cases}
=0\Rightarrow可微\\
!=0\Rightarrow不可微
\end{cases}
$$
多元隐函数求导
$$
\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{F_x^{‘}}{F_z^{‘}}\\
\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{F_y^{‘}}{F_z^{‘}}\\
$$
极坐标下二重积分及算法
$$
\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_a^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr
$$

微分方程

一阶线性微分方程

$$
y’+p(x)y=q(x),其中p(x),q(x)为连续函数
$$

$$
y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{e^{\int{p(x)dx}}q(x)dx+C})
$$

二阶常系数齐次线性微分方程的通解

$$
y’’+py’+qy=0,p,q为常数\
$$

特征方程为
$$
\lambda^2+p\lambda+q=0
$$
推出
$$
\begin{cases}
p^2-4q>0, \Rightarrow{通解为} y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\\
p^2-4q=0, \Rightarrow{通解为} y=(C_1+C_2x)e^{\lambda{x}}\\
p^2-4q<0,\lambda_{1,2}=\alpha\pm{i}\beta \Rightarrow{通解为} y=e^{ax}(C_1\cos\beta{x}+C_2\sin\beta{x})\
\end{cases}
$$

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

$$
y’’+py’+qy=f(x)
$$

(1)自由项 $f(x)=P_n(x)e^{ax}$时,特解为$y^*=e^{ax}Q_n(x)x^k$
$$
其中
\begin{cases}
e^{ax}照抄\\
Q_n(x)为x的n次一般多项式\\
k=\begin{cases}
0, a\not=\lambda_1,a\not=\lambda_2\\
1, a=\lambda_1或a=\lambda_2\\
2, a=\lambda_1=\lambda_2
\end{cases}
\end{cases}
$$

微分算子法求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

三阶常系数齐次线性微分方程的通解

$$
y’’’+py’’+qy’+ry=0,p,q,r为常数
$$

级数

泰勒级数

字面说明太他妈抽象了,这玩意要用几何去理解才好些,以下是一些实用的泰勒(幂)级数
$$
e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}+…,-\infty<x<+\infty\\
ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{}\\
\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^nx^n+…,-1<x<1\\
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty1+x+x^2+…+x^n+…,-1<x<1
$$
具体查看导数那一章

傅里叶级数

三角级数
$$
\frac{1}{2}A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos{nx}+B_n{\sin{nx}}
$$
当$A_n,B_n$具有以下形式时
$$
A_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos{nx}dx,(n=0,1,2,…)\\
B_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\sin{nx}dx,(n=0,1,2,…)
$$

级数判敛的方法

比较审敛法
比值审敛法(检比法)

$$
\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\rho\\
\begin{cases}
p<1,级数收敛\\
p>1,级数发散\\
p=1,级数可能收敛也可能发散\
\end{cases}
$$

根值审敛法
交错级数

重积分

计算方法

投影法

$$
\iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)}dxdydz\
=\iint\limits_{D}{dxdy}\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz
$$

菜刀法

球面积分

直角坐标系$(x,y,z)$到球面坐标系的$(r,\varphi,\theta)$的转换规则如下:
$$
\begin{cases}
x=r\sin\varphi\cos\theta\\
y=r\sin\theta\sin\varphi\\
z=r\cos\varphi\
\end{cases}
$$
张宇打拳法
$$
\iiint\limits_{\Omega}{f(x,y,z)dxdydz}=\iiint\limits_{\Omega}f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\theta\cos\varphi,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi d\theta d\varphi dr\\
根据宇哥的方法进行记忆\\
\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}d \varphi\int{f(r,\theta,\varphi)}dr
$$

偏微分方程

一些常见图像

马鞍面

$$
z=xy\\
-\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z
$$

椭球面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
$$

单叶双曲面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$

双叶双曲面

$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$

向量的补充

概念

  • 向量:既有大小,又有方向的量
  • 数量:只有大小,没有方向的量
  • 有向线段的三要素:起点、方向、长度
  • 零向量:长度为0的向量
  • 单位向量:长度等于1个单位的向量
  • 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,零向量与任一向量平行
  • 相等向量:长度相等且方向相同的向量
  • 向量方向:用方向余弦来表示

向量的模

|${\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}$

方向角余弦
$$
\cos\alpha=\frac{x}{|r|}\\
\cos\beta=\frac{y}{|r|}\\
\cos\gamma=\frac{z}{|r|}\\
\cos\alpha{^2}+\cos\beta{^2}+\cos\gamma^2=1\\
$$

加法

三角形法则(特点:首尾相连)
$$
\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
$$

平行四边形法则(特点:共同起点)
$$
\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}
$$

$$
\cos\theta=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x^2_1+y_1^2}\sqrt{x^2_2+y_2^2}}\\
a\cdot b=b\cdot a\\
$$

数量积

$$
a=(a_x,a_y,a_z)\\
b=(b_x,b_y,b_z)\\
a\cdot b=|a||b|\cos\theta\\
a\cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
$$

向量积

$$
|a||b|\sin\theta\\
a\times b=
\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
\vec{a_x}&\vec{a_y}&\vec{a_z}\\
\vec{b_x}&\vec{b_y}&\vec{b_z}
\end{vmatrix}
$$

混合积

公式:$(abc)=(a\times b)\cdot c$
$$
(abc)=
\begin{vmatrix}
a_x&a_y&a_z\\
a_x&b_y&b_z\\
c_x&c_y&c_z
\end{vmatrix}\
$$

一些物理公式

作者

IceCliffs

发布于

2024-06-20

更新于

2024-07-08

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